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【解析】2021年高考数学部分题解析

写在前面:我整理了2021年高考数学(课标全国甲、乙卷、新高考全国1、2卷、天津、上海、浙江、北京卷,共10份)的绝大部分题目(除了上海卷的3道题没整理,其他都有整理)。如果有需要的线元

我选取一些看起来不那么常规的题,简单写一下我的答案(有可能写错了,欢迎指出!)以及试题评价(难度、复杂度、计算量三方面).

——思路是否容易想出来。如果一道题的思路不那么常规或者比较难想出来就代表“难度”项的指标越大。例如:作辅助线)

——知识的综合运用程度。一道题如果涉及的知识越多、理解题意花的时间越长、 且解题步骤中各部分知识融合得越杂,就代表“复杂度”的指标越大。例如:分类讨论、多个知识点结合的题、题干很长的题。

——包括数字、字母等东西的四则运算、因式分解、函数化简运算 (如三角函数、对数、指数的加加减减)等等,若涉及这方面的运算越多,“计算量”指标越大。解析几何解答题的计算量通常都会大于等于3颗星.

通常难度和复杂度呈正相关,然而有一些题为了覆盖高中数学的知识点与考纲提到的六大素养,有意在堆砌知识点和阅读量,

复杂度比较高,而题目本身并不难,在冷静地仔细读题之后思路是容易得到的,例如维纳斯题、嫦娥四号题、金字塔题、数砖题、“鳖臑”“阳马”题。对于这方面的详细说明参见下面的文章。注意这个试题评价是完全主观的,如果有些题我觉得不难但你觉得难,这是正常的。接受理性探讨,不接受喷子骚扰。

直接开始!(先更全国甲卷和乙卷,这部分考生已经高考完了。等其他同学高考完再更其他)

聚焦中高考数学:“指挥棒”变高还是低了?复习策略如何调整?

目前高三备考进入第一轮复习阶段。近日,羊城晚报全媒体记者走访各中学发现,广州多所高中调整了本届高三的复习策略,特别是针对数学科,备考难度、复习时间、考题练习量均有所增加。

反观中考备考,一些初中生家长反映,在2022年中考高分考生增多、普高录取分数线上涨的情况下,部分初中学校降低了数学科的日常教学难度,重点教学目标为保基础。

由此,不少学生和家长疑惑,中高考“指挥棒”对数学的要求究竟是高了还是低了?

记者采访了解到,中高考“指挥棒”对数学思维、情境问题、运算能力的要求一脉相承。部分学校调整高三数学复习策略,是出于高考数学越来越强调解决实际问题等的考虑。有教师建议,从小学、初中阶段开始,就要强调培养学生的数学思维、强化学生的运算能力。

本学期开始,广州不少学校调整了高三第一轮复习策略。日前,羊城晚报全媒体记者走访了解到,针对数学科,这些学校提高了复习备考难度,增加了该科目的复习时间、考题练习量,目的是在有限的时间内强化学生分析问题、解决问题的能力,提升学生的计算能力、答题速度。

华南师范大学附属中学高中部数学科组长周建锋介绍,今年该校高三数学科目的备考,一方面适当提高了备考难度,另一方面将贯彻落实“通性通法”。所谓通性通法,是指具有某些规律性和普遍意义的数学思想方法,能让学生深入理解每个数学知识点蕴含的原理,促进学生运用所学知识,解决陌生情景下的陌生问题,实现掌握本质、以不变应万变。

“首先,要重视基础知识的巩固,不盲目刷题背套路,要融会贯通加强数学思维,真正具备解决现实问题的能力;其次,要保持一定的考题训练量,增强计算能力,加快答题速度,常规题尽量不失分。”周建锋表示,高考数学不仅要求考生会做题,更要求考生在短时间内找到最优解,考题会从难度和速度两个维度考查学生。

广州市执信中学通过“思维体操”训练,强化学生运用数学知识解决情境问题的能力。“老师们会精选一些比较典型的数学应用题去启发学生,带领学生一起分析问题,以提升他们的独立思考、解决问题的能力。”执信中学高中数学副科组长、高三备课组长朱清波表示。

广州大学附属中学高三奥数班老师、中学数学高级教师陈经纬表示,该校高三数学复习突出对主干知识的深层次考查训练,在数学知识方法应用的灵活性和创造性上下功夫,重视小题的一题多解,厘清数学知识来龙去脉,探究数学求解过程中的本质,提高学生学科素养;有意识地培养学生的运算求解能力,教会学生根据题目特点进行合理优化的运算。

广州市第五中学数学科组长李大伟提到,针对高三学生的备考复习,学校分阶段制定了复习策略,前期以主干知识为主,精讲适练,后期以解决学生问题为主,多练精讲,使学生的知识系统化、条理化,能够灵活运用。

此外,为做好高中三年的整体教学规划,该校高一、高二数学授课不再以现成的教辅资料为重点,而是由老师根据新课标理念,针对新教材自编适合五中学生特点的导学案进行教学,强调基础性、综合性,注重数学本质、通性通法,淡化解题技巧,注重学生学习方法和能力的培养。

本届高三数学复习策略缘何发生变化?记者了解到,多所学校调整数学复习策略是由于2022年高考数学体现出新特点和趋势,学生普遍反映2022年高考数学科目题目较难,一些平时靠刷题和套路取得优秀成绩的同学最终未取得很好的分数。

“2022年高考数学科计算量大、新情境题型较多。相比2021年的考卷,一些题目难度有所增加。加之考试时间有限、心情紧张,学生不免觉得难度增加。”周建锋表示,2022年高考数学单选题第7道题难度增大,要构造函数且运算量不小,不少学生没能攻克。

“送分题明显减少、考察思维灵活度的题目占了一大半、情境化试题占二三十分。”朱清波分析认为,在实际工作和生活中遇到问题,不会像传统数学题那样直接给出条件、数据、目标问题,如今,高考改革强调回归现实,着重用情境化试题考查学生从实际情境中抽象出数学问题、条件和数据,构建数学模型进而解答的能力。

朱清波举例说,以2022年高考数学倒数第三题为例,题目以医疗团队为研究某地方性疾病与当地居民卫生习惯的关系为背景,给出病例组和对照组数据,考查统计方面的知识点,要求考生定量、定性分析判断患该病是否与卫生习惯有关,以及有多大关系。

“情境化的试题就是现实生活或数学领域中的真实问题,学生必须真正理解常用的数学思想和数学方法,理解它们怎么来的、如何运用。只有这样,在面对陌生问题时,学生才能灵活运用所学知识进行解决。”周建锋表示。

周建锋还提到,2022年高考出现一些平时数学成绩优秀的同学最终考分不理想的现象,究其原因是这类学生往往只是盲目刷题、背诵套路,遇到情境化问题时数学思维的漏洞和弱点就暴露了出来。他提醒学生,数学学习切忌只记结论不关注过程、只记套路不懂原理。

反观中考“指挥棒”,一些家长反映,在2022年广州中考高分考生增多、普高录取分数线上涨的情况下,部分初中学校却以保障基础得分为重点教学目标,降低了数学的日常教学难度。结合高考出现的考题难度增加、难得高分的情况,一些学生和家长困惑,数学学习到底该保基础还是冲难度?

不少教师和专家认为,高考和中考数学一脉相承,都强调数学思维和素养的考查,强调学生解决情境问题的能力。

“近三年,广州中考的数学科在考查知识、考试结构和题型、试题难度上基本稳定,但稳中有新意。一是背景材料的选择上更偏向于创设真实情境;二是借鉴高考的新题型试题,设问更加开放;三是命制形式灵活,设问精巧、创新,体现思维。”广州市初中数学中心组成员、广州市第五中学数学高级教师黄丽君表示。

黄丽君表示,这些特点说明广州中考“从简”但不“简单”,简化的是重复性的内容,提高的是对学习能力的要求,试卷注重通性通法,淡化特殊技巧,强调对知识的深入理解和综合应用,强调数学思维方式和学习能力。

黄丽君举例说,2022年广州中考数学第23题,利用太阳光下物体的影子和标杆测量旗杆的高度,问题呈现形式借鉴高考新题型,“类似于这类题目,目的就是引导学生体会数学与生活之间的联系,感悟在从生活情境中抽象出数学模型,运用数学知识分析解决问题”。

“2022年广州中考平均分的确提高不少,但105分、110分以上的高分考生并没有大幅增加,从试卷难度来看,依然保持了一定的区分度。”执信中学初中数学副科组长陈志红表示。

陈志红表示,不同层次的学生学习数学的策略不同,对于中等生来说,打好基础的同时要尽量“踮脚”够难题,优秀学生尤其目标是第一梯队高中的学生,则要提高数学思维、训练自己攻克难题的能力,为高中及大学的学习打好基础。

针对当前的数学教学要求,周建锋提醒,老师们要深入讲解和分析基础概念,“把各种题目类型分类整理好直接教授套路的教学方式不可取,虽然搬运这些套路会让学生觉得做题很有效,但学生没有弄懂基础概念,知其然而不知其所以然,非常危险,难以支撑其长远的学习需求”。

朱清波建议,老师们在教学中要用好数学教材,警惕本末倒置,抱着课外材料让学生刷题。他提到,教材上的题目是经过专家精挑细选的,具有代表性和启发性,很多考试命题是课本上题目的变形。

朱清波还表示,中小学阶段的数学教学也要注重强化学生的运算能力,在小学阶段,老师需要讲清楚算理(加减乘除的道理),帮助学生“扣好第一颗扣子”,而不是让学生死记硬背公式。到了初中阶段,学生们要警惕总是出现粗心算错的情况,要在平时的学习中保持计算量和做题节奏,持之以恒攻克计算难关。

“嫦娥二号”为何写入数学?快看合肥名师点评高考题!

6月8日,为期两天的2022年安徽高考考试正式收官!以生态环境建设为背景材料,考查高考生应用统计的基本知识;以嫦娥二号卫星在完成探月任务后继续进行深空探测为情境,考查学生综合应用数列、函数……今年安徽高考所使用的全国乙卷,各科目要考查考生哪些知识点?都有哪些新题型?快来看看名师们如何解读!

“今年试题突出数学学科特点,强化基础考查,突出关键能力,加强教考衔接,服务‘双减’政策实施,助力基础教育提质增效。”高考数学科目结束后,教育部教育考试院发布“2022年高考数学全国卷试题评析”。

其中提出,今年的数学高考题,以我国的社会经济发展、生产生活实际为情境素材设置试题。比如,全国乙卷文、理科第19题以生态环境建设为背景材料,考查学生应用统计的基本知识和基础方法解决实际问题的能力,对数据处理与数学运算素养也作了相应的考查。

同时,选取我国科技发展与进步中取得的重要成就作为试题背景,体现数学的应用价值和时代特征,激发青年学生树立为国家服务、奉献科技事业的信念。如全国乙卷理科第4题,以嫦娥二号卫星在完成探月任务后继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为情境,考查学生综合应用数列、函数、不等式等基本知识观察问题、分析问题和解决问题的能力。

高考评价体系的一核四层四翼中明确了高考考查的基础性、综合性、应用性和创新性。“数学核心素养的考查既是数学考试命题的总体目标,又是评价考生学习成果及公民素养的一个重要维度。”在合肥市第六中学老师黄海波、侯曙明看来,今年的高考试题在这两个方面都做出了很好的示范。

比如,文理科第11题、第20题、第21题都在数学知识网络的交汇点处设计问题,试题综合性较强,突出创新,深刻地考查了高中数学核心素养。

他表示,今年的全国高考数学试题深入贯彻高考改革的有关要求,很好地发挥了高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能。试题考查的学科知识全面,内容丰富,突出了数学学科的科学价值和理性价值,体现了素质教育的要求,无论从考试的选拔功能,还是对中学教学的引导作用来看,都是一份出色的试卷。

2022年全国乙卷语文作文依旧采用有明确写作任务的新材料作文题型,充分发挥语文学科优势,紧扣时代主题,关注社会现实,增强奋斗精神;同时将作答要求与切身体悟相结合,在引导坚定文化自信、厚植家国情怀、提升思想境界等方面,以文传声、以文载道、以文化人,落实立德树人根本任务。

表格部分围绕2008年、2022年北京举办两届奥运会的时间节点,从“比赛成绩”“群众体育”“科技亮点”“交通支持”“国家经济”五个维度编组信息,在体育精神、社会进步、科技创新和国家发展四个层面上,直观地呈现出自2008年以来中国在实现历史性跨越后所取得的新跨越。这五个维度,尽管不能涵盖中国全面的发展成就,但足以引发考生广泛而深入的思考。

文字内容明确了审题方向。“中国综合国力的跨越式发展”,是对表格内容的高度概括。众所周知,2008年北京首次举办奥运会,就创造了奥运史上的巅峰记录,其背后是中国改革开放以来综合国力的大跨越;2022年在新冠疫情仍在全球肆虐之际,北京冬奥会的成功举办,再次展示了中国力量,其背后是中国特色社会主义进入新时期,综合国力的新跨越。值得思考的是,这种从跨越到跨越的“跨越式发展”,不是简单的重复,而是在新的历史阶段的新发展。“亲历其中,你能感受到体育的荣耀和国家的强盛”,这句话将体育盛事、国家强盛、成长阅历有机勾连起来,形成了本次作文思考的着力点。考生“亲历其中”的时间段里,发生了包括举办“双奥”在内的许多重大历史事件,均可成为思考的对象。如我国在航天工程、卫星导航、空间站建设、探日工程、量子计算、太阳能燃料合成、碳中和等科技前沿的接力前行;如在脱贫攻坚、共同富裕、全面小康、供给侧改革、双循环发展、一带一路、“十四五”规划以及生态文明建设等大政方针的推进实施;如在面对汶川地震灾害、洪涝灾害、新冠疫情中的众志成城。显然,命题在引导考生关注现实,重视实践。

“从懵懂儿童向有为青年的跨越”“未来前行,你将融入民族复兴的澎湃春潮”,命题者为考生勾勒出“跨越,再跨越”的成长轨迹,明确提出青年在特定时代下的使命与责任,强调了主体意识,引导考生思考青春,思考个人与国家、民族以及时代的关系,加强了任务驱动,有效限制了宿构。“卓越永无止境,跨越永不停歇”,考生不可忽视这一特定的情境,在全面建成小康社会、进而全面建设社会主义现代化强国的新时代,需选择好自己的角色——不断追求“跨越式”发展的有为青年,思考在脱贫攻坚取得全面胜利、全面建成小康社会、“十三五”完美收官,开启“十四五”规划、世界处于百年未有之大变局为中华民族实现伟大复兴带来重大机遇的时代,广大青年自身的发展问题。即在感悟新时代伟大成就中激发持久的爱国情,凝聚磅礴的自信力,以实际行动在国家高质量、跨越式发展中,贡献青春,建立功勋。

值得一提的是,今年全国乙卷作文延续了2021年的命题思路,没有设置特定交际情境中的特定当事人的身份,要求考生以普通奋斗青年的身份做好时代的代言人。这是一种理性回归,即更加重视落实立德树人根本任务中“人”的地位和价值,充分体现了高考语文全面育人的功能。

在《普通高中语文课程标准》(2017年版2020年修订)中,“学业质量水平”对写作考核提出了明确要求:“在表达时,讲究逻辑,注重情感,能综合运用多种表达方式,从多个角度、多个方面表达自己的理解和感受,力求做到观点明确,内容丰富,思路清晰,感情真实健康,表达准确、生动。”

本命题要求“结合以上材料,以‘跨越,再跨越’为主题,写一篇文章,体现你的感受与思考。”正是紧扣课标,侧重考查考生“发现与创造”的能力。考生需要根据给定主题确定写作内容,将“跨越,再跨越”的时代主题与个人经历有机融合,借助联想与比较、实证与推理、分析与归纳,在跨越的过程、表现、动力、模式等诸多方面,选准角度,确定立意,写出考场作文应有的“精气神”。“精”是文脉清晰,角度选择准确,谋篇布局得当;“气”是文气流畅,逻辑层次缜密,语言表达连贯;“神”是文风端正,思想认识上境界,观点阐释有深度。至于如何在行文中处理好“跨越与再跨越”“个体、时代与家国”等多元关系,这涉及逻辑建构,需要考生在切身感受的社会体验与独立思考的理性发现中整合出清晰的思路。既要在家国复兴与人生规划的融合中,写出责任担当;又要在回溯过去、立足当下与展望未来的时间轴上,写出踔厉前行。

在具体写法上,建议紧扣“见证”“亲历”“融入”等关键词,写出考生自己已经“见证”与已经“亲历”之“跨越”,更写出自己已经“融入”与将要“融入”之“再跨越”,以“大题小做”“虚题实做”为写作导向,真切地写出自己在观看与参与2008年奥运会、2022年冬奥会时的欢笑与泪水、激动与感悟、笃行与实践,以个人之“一”的眼、心、手而展现国家之“一切”的荣耀、强盛与澎湃春潮。青春成长之于民族复兴,如“一”之不能无“一切”,亦如“一切”之不能无“一”;写“跨越,再跨越”,既是在写民族复兴,亦是在写青春成长。青春成长应当成为这篇文章构思的终点与再出发点。

总之,本次命题加强了情境设计,在理性思辨、逻辑建构方面对考生提出了更高的要求。对写作任务的分析从“审题能力”延展到“审境能力”,希望考生能写出符合学科核心素养要求的好文章。这种命题指向,不仅有利于助推育人方式改革,使得新老高考顺利衔接,也体现了语文教学“教考统一”的愿景。

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